密度泛函 局域密度近似LDA学习

gaohaikuo1

局域密度近似(LDA)是所有的近似交换一关联泛函E的基础。考虑一个电子密度缓变的系统,把E写成局域量en(o)的积分形式
$$E_{xc}^{LDA}[n]=\int n(r)\varepsilon_{xc}[n(r)]\mathrm{d}r$$
其中ε[n(是每个粒子的交换一关联能,可进一步分解成交换能e和关联能ε两个部分
$$\varepsilon_{xc}[n(r)]=\varepsilon_x[n(r)]+\varepsilon_c[n(r)]$$
对于均匀电子气,ε[n(r)和交换关联势μ。可以通过忽略电子关联得到

$$\begin{gathered}
\varepsilon_{x c}[n(r)]\approx-\frac{3e^{2}}{2\pi}\left(3\pi^{2}n(r)\right)^{1/3}n(r) \\
\mu_{x c}[n(r)]\approx-2e^{2}\left({\frac{3}{\pi}}\right)^{1/3}n^{1/3}(r)
\end{gathered}$$

gaohaikuo1

采用均匀电子气模型(HEG)，可用统计方法导出交换－相关能泛函(其中交换能部分较简单，相关能部分很复杂)。将HEG模型的相关结果用于电子密度非均匀的体系，称局域密度近似。
LDA的交换－关联能只依赖于电子密度。
$$E_{xc}^{LDA}[\rho]=\int\rho(\vec r)\varepsilon_{xc}(\rho(\vec r))d\vec r$$
其中 $\mathcal{E}_{xc}(\rho)=\mathcal{E}_x(\rho)+\mathcal{E}_c(\rho)$
由均匀电子气模型可获得：
$$\varepsilon_x(\rho)=-\frac{3}{4}[\frac{3}{\pi}\rho(\vec{r})]^{\frac{1}{3}}$$
局域密度近似下交换能的解析表达式为 (Dirac，1930)：
$$E_x^{LDA}[\rho]=-\frac{3}{4}(\frac{3}{\pi})^{\frac{1}{3}}\int[\rho(\vec{r})]^{\frac{4}{3}}d\vec{r}$$
对它的变分导数给出局域密度近似下的交换势
$$v_x^{LDA}(\vec{r}) = -[\frac{3}{\pi}\rho(\vec{r})]^{\frac{1}{3}}$$

http://staff.ustc.edu.cn/~zyli/download/AQC-3.pdf